Die „Briefmarke“ hüpft, wenn das E-Mail-Programm auf sich aufmerksam machen will.
Letzteres tut es, weil es regelmäßig im Postfach deines Providers nachsehen will, ob neue Mail für dich da ist. Und wenn dann das Passwort feht oder nicht stimmt oder nicht akzeptiert wird, braucht das Programm dich, um das Problem zu lösen.
Solange du nicht „Kennwort in Schlüsselbund sichern“ ankreuzt, wird sich das spätestens nach dem nächsten Schließen und Öffnen des Mail-Programms wiederholen, weil das einmal eingegebene Passwort eben nicht dauerhaft gespeichert wurde. Und das ist auch gut so, und richtig.
Wenn du aber das Kreuzchen setzt, dann sollte Ruhe sein.
Frage: Bekommst du denn überhaupt neue Nachrichten aus den betroffenen Accounts zugestellt? Wenn ja, dann wird das Passwort akzeptiert, aber offensichtlich nicht – oder nicht immer – von OSX dauerhaft gespeichert. Wenn nein, dann ist möglicherweise das Zugriffsverfahren auf die betr. Mailboxen falsch konfiguriert. Die Meldung „akzeptiert das Kennwort nicht“ kann nämlich – leider – auch kommen, wenn der Zugriff aus anderen Gründen scheitert. (Habe ich zumindest mt Mail 4.6 unter OSX 10.6.8 neulich so erlebt.)
Mir ist klar, dass ich damit noch keine Lösung vorschlage, aber ich hoffe zunächst einmal zum Durchblick beigetragen zu haben.
Systematische Fehlersuche:
Ich würde versuchsweise mal in den Einstellungen von „Mail“ das automatische Abrufen von Post ausschalten.(*) Dann ein Postfach nach dem anderen manuell abrufen, auf Verlangen das Passwort engeben, und im Schlüsselbund sichern lassen. Dann Mail beenden und neu starten, und das Ganze wiederholen. Dann kannst du schon mal eingrenzen, welche Accounts genau betroffen sind, und ob der Zugriff vielleicht auch nach Eingabe des Passworts noch scheitert; im letzteren Fall wird das Symbol des der betr. Accounts in „Mail“ mit einem Symbol für „offline“ oder „nicht zugreifbar“ versehen.
(*) Nicht vergessen, das automatische Abrufen von Mail anschließend wieder einzuschalten!
Dann schau‘ dir mal die Hilfeseiten deiner Mail-Provider an, ob sie vielleicht die richtigen Enstellungen für „Apple Mail“ irgendwo erklären.
Ultmative Lösung: Thunderbird verwenden, statt des beknackten und spielzeughaften „Apple Mail“.
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Software ist die ultimative Bürokratie.